Synthonia

Ok, chiedo l'attenzioni di tutti i colleghi ingegneri/matematici/fisici e quant'altro... Chi se ne intende di "Scomposizione in Fratti Semplici"? Sono un po' nella cacca...

io sono ingegnere (tlc) ma devi aspettare che torno a casa...a furia di smanettare sui pc, non mi ricordo nulla di matematica, devo vedere i miei appunti

Direi che è un modo per semplificare dei fratti complessi xD

Tritone wrote:io sono ingegnere (tlc) ma devi aspettare che torno a casa...a furia di smanettare sui pc, non mi ricordo nulla di matematica, devo vedere i miei appunti

Tranquillo, intanto grazie! ti espongo il problema del mio esame di Segnali e Sistemi... in parole povere mi sono trovato la mia Funzione di Trasferimento H(s), e ho un segnale x(t), che entra nel sistema, e un'uscita y(t). Il sistema è il migliore che potrebbe capitarmi, Lineare-Tempo Invariante, BIBO Stabile e Causale. Quindi cosa faccio, mi chiedono di calcolare il segnale in uscita y(t), e io mi calcolo la trasformata di laplace di x(t), ottenendo: X(S) = (10/s) + [6s/(s^2 + 9)]. La funzione di trasferimento data (o risposta in frequenza, chiamandola come si preferisce) è H(S) = (1/10)/(s - 2)^2.

Ora pensavo di fare una cosa del genere: Y(s) = H(s) X(s).

E fin qua mi sembrava tutto semplice, se non fossi arrivato ad una cosa del genere:

Y(s) = (8/5s^2 + 9) / [s (s - 2)^2 (s^2 + 9)] e non so come risolverla con i fratti semplici, perchè otterrei una cosa (credo) simile a questa:

Y(s) = A/s + [(Bs + C) / (s - 2)^2] + [(Ds + E) / (s^2 + 9)].

Se ti ricordi quacosa te ne sarei mooooolto grato!!

Ciao, sn ingegnere per l'automazione e posso aiutarti io.
Allora comincio col dirti che ti sei preso 1 bella gatta da pelare ;) la funzione da antitrasformare è bella tostarella...
Ti ricordo che data la tua funzione (fermo restando che sia giusta...non ho verificato):

Y(s)=[(8/5)s+9]/[s(s-2)^2(s^2+9)]

puoi intravedere un polo reale semplice (0), un polo con molteplicità 2 (2), 2 poli complessi e coniugati (+/- 3i)
quindi puoi scrivere

Y(s)=K1/s + K21/(s-2)^2 + K22/(s-2) + K3/(s-3i) + K4/(s+3i)

in quanto a poli reali corrispondono residui reali, a poli complessi e coniugati corrispondono residui complessi e a poli multipli corrispondono piu residui...
Ti scrivo le formulette per il calcolo dei residui

- POLI SINGOLI (REALI O COMPLESSI): K=(s-p)Y(s) calcolata per s=p con p polo

- POLI MULTIPLI: K=[1/(l-1)!]*d^(l-1)/ds^(l-1)*(s-p)^r*Y(s) calcolata per s=p con p polo (purtroppo non si capisce molto cmq te la scrivo a parole
K=(uno diviso l-1 fattoriale)*derivata (l-1)-esima di (s-p) alla r per Y(s)
Dovresti averla cmq sui tuoi appunti e sul libro di testo...al massimo cercala su google "residui poli multipli"

Con queste 2 formulette che sembrano chissa che cosa invece so na cavolata hai risolto tutto

K1=[((8/5)*0+9)]/[(-2)^2*9]=1/4
K3 e K4 analogamente praticamente al posto delle s ci metti il valore numerico del polo relativo al residuo che stai a calcolare e al denominatore non consideri il polo relativo al residuo

per K21 e K22 devi fare 1 derivata

K22=(d/ds)[(s-2)^2*Y(s)] calcolata in s=2

K21=[(s-2)^2*Y(s) ] calcolata in s=2

K22 e K21 sarebbe l'applicazione al caso in questione della formulaccia sui residui multipli

Con la santa pazienza fatti tutti i tuoi conticini e ti trovi i residui! io credo che un'esercizio del genere all'esame è da pazzi...anche x' esistono software (quali Matlab, derive ecc) che ti fanno sti conti in un attimo.
Se dovessi avere problemi ti faccio una scansione del foglio dove ho scritto queste formule che magari si capiscono meglio.
CIAOOOOOOOOOO

amonxxx wrote:Ciao, sn ingegnere per l'automazione e posso aiutarti io.
Allora comincio col dirti che ti sei preso 1 bella gatta da pelare ;) la funzione da antitrasformare è bella tostarella...
Ti ricordo che data la tua funzione (fermo restando che sia giusta...non ho verificato):

Y(s)=[(8/5)s+9]/[s(s-2)^2(s^2+9)]

puoi intravedere un polo reale semplice (0), un polo con molteplicità 2 (2), 2 poli complessi e coniugati (+/- 3i)
quindi puoi scrivere

Y(s)=K1/s + K21/(s-2)^2 + K22/(s-2) + K3/(s-3i) + K4/(s+3i)

in quanto a poli reali corrispondono residui reali, a poli complessi e coniugati corrispondono residui complessi e a poli multipli corrispondono piu residui...
Ti scrivo le formulette per il calcolo dei residui

- POLI SINGOLI (REALI O COMPLESSI): K=(s-p)Y(s) calcolata per s=p con p polo

- POLI MULTIPLI: K=[1/(l-1)!]*d^(l-1)/ds^(l-1)*(s-p)^r*Y(s) calcolata per s=p con p polo (purtroppo non si capisce molto cmq te la scrivo a parole
K=(uno diviso l-1 fattoriale)*derivata (l-1)-esima di (s-p) alla r per Y(s)
Dovresti averla cmq sui tuoi appunti e sul libro di testo...al massimo cercala su google "residui poli multipli"

Con queste 2 formulette che sembrano chissa che cosa invece so na cavolata hai risolto tutto

K1=[((8/5)*0+9)]/[(-2)^2*9]=1/4
K3 e K4 analogamente praticamente al posto delle s ci metti il valore numerico del polo relativo al residuo che stai a calcolare e al denominatore non consideri il polo relativo al residuo

per K21 e K22 devi fare 1 derivata

K22=(d/ds)[(s-2)^2*Y(s)] calcolata in s=2

K21=[(s-2)^2*Y(s) ] calcolata in s=2

K22 e K21 sarebbe l'applicazione al caso in questione della formulaccia sui residui multipli

Con la santa pazienza fatti tutti i tuoi conticini e ti trovi i residui! io credo che un'esercizio del genere all'esame è da pazzi...anche x' esistono software (quali Matlab, derive ecc) che ti fanno sti conti in un attimo.
Se dovessi avere problemi ti faccio una scansione del foglio dove ho scritto queste formule che magari si capiscono meglio.
CIAOOOOOOOOOO

mhmhmh teoricamente ho trovato un metodo piu semplice... provo a verificare entrambi, in caso piu tardi posto qui!! grazie cmq :D

Attento il metodo per il calcolo dei residui che ti ho postato io è quello generale!(e non è difficile x niente...basta 1 po di pazienza e ordine nel fare i conti)OVviamente esistono metodologie piu semplici ma che sono casi particolari e quindi risolvono solo casi più semplici...a te è capitata 1 antitrasformata dove c'è un pò di tutto...quindi...fossi in te cercherei di capire il metodo generale...
CIAO CIAO!

amonxxx wrote:Attento il metodo per il calcolo dei residui che ti ho postato io è quello generale!(e non è difficile x niente...basta 1 po di pazienza e ordine nel fare i conti)OVviamente esistono metodologie piu semplici ma che sono casi particolari e quindi risolvono solo casi più semplici...a te è capitata 1 antitrasformata dove c'è un pò di tutto...quindi...fossi in te cercherei di capire il metodo generale...
CIAO CIAO!

Ora ti speigo, il fatto è che a me sono anche stati forniti il diagramma di bode di fase e modulo... quindi pensando al segnale di ingresso come x(t) = 10cos(0t) + 6cos(3t), mi basta guardare sul grafico modulo e fase a 0 e 3... e costruire l'uscita come somma di due segnali cosi creati: |H(jw)|cos(wt + a + Arg(H(jw))), avendo in ingresso un segnale del tipo cos(wt + a)... spero di essermi spiegato!

SI SI claro!!
però come ti dicevo prima, sta cosa vale solo per segnali in ingresso sinusoidali e loro combinazioni...(meno male...sennò ci avresti messo na settimana a calcolare i residui )
Cmq Ricordati che le formule che t'ho dato valgono sempre e comunque per ogni tipo di Funzione Y(s) che vuoi antitrasformare ;)

CIAOOOOOOOOOOOO